【平面線形】「曲線半径」と「曲線長」が分かっている時の交角θの出し方

はじめに

下図のように、クロソイドの無い単曲線で、半径(下図ならR=50m)と曲線長(下図ならL=30m)が分かっている際に、その交角θを算出したい時があります。

例えば今回の例(上図)は小さな半径ですが、もっと大きな半径では普通にクロソイドを省略します。かつクロソイドを省略するほど大きな半径で曲がる場合は交角θが小さくなるケースも多く、θが7°未満の場合はその曲線長が短すぎないか「定数/θ」で照査する必要がある為(定数は設計速度で決まる値)、そのような際にθを算出する必要が生じます。

また「平面線形」(幾何構造)以外の話(例えば何かの構造図等の作図など)も含めると、CAD作業において「半径と曲線長を押さえた円弧を書きたい」場合などにも必要となります。

CAD上で測ったりトライアルしたりするよりも、慣れていれば電卓で「数秒」で出せますので、今回はその計算方法と原理を説明致します。

計算の仕方(電卓)

上図のθなら、以下のように算出します。式の中の記号は演算記号というよりかは、電卓のボタンです。

30÷2÷3.14159265÷50×360＝34.377…(度)

すなわち、

曲線長÷2÷π÷半径×360＝交角

です。

原理の説明

簡単な中学数学の内容となります。

上図は冒頭の図に半径R=50mの円などを書き足したものです。

図より明らかに、交角θを求めるということは、L=30mの円弧の中心角θを求めることと同義となります。

さて、半径R=50mの円全体の円周の長さは、

円周の長さ
＝2×π×半径　…①

です。これの中心角は当然ながら360°(円一周)です。…②

これ(①)に対して、今回求めたいL=30m(曲線長)の比率は、

曲線長/①
すなわち、
曲線長/(2×π×半径)　…③

ですから、求めたい交角θは、円一周の角度(②)に上記の比率(③)を掛ければ求まりますので、

交角θ
＝360×曲線長/(2×π×半径)

と分かります。

上記の表現を変えると、

交角θ
＝曲線長÷2÷π÷半径×360

となります。

おわりに

以上、「曲線半径」と「曲線長」が分かっている時の交角θの出し方について記しました。